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已知a,b,c为三角形的三边,求证:方程b²x²+(b²+c²-a²)

来源:学生作业帮 编辑:作业号搜索作业帮 分类:数学作业 时间:2021/10/22 01:43:40
已知a,b,c为三角形的三边,求证:方程b²x²+(b²+c²-a²)x+c²=0没有实数根.
证明:判别式 (b^2+c^2--a^2)^2--4b^2c^2
=(b^2+c^2--a^2+2bc)(b^2+c^2--a^2--2bc)
=[(b+c)^2--a^2][(b--c)^2--a^2]
=(b+c+a)(b+c--a)(b--c+a)(b--c--a)
因为 a,b,c 是三角形的三边,
所以 由三角形三边的关系(三角形任意两边的和大于第三边)可知:
b+c+a大于0,
b+c--a大于0,
b--c+a大于0,
b--c--a小于0,
所以 (b+c+a)(b+c--a)(b--c+a)(b-c--a)小于0,
即:判别式小于0,
所以 方程 b^2x^2+(b^2+c^2--a^2)x+c^2=0没有实数根.