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已知 a,b,c均为正数.证明:a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3

来源:学生作业帮 编辑:作业号搜索作业帮 分类:数学作业 时间:2021/10/17 10:58:25
已知 a,b,c均为正数.证明:a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3
请用不等式证明,
不要用求导.
a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 1/a^2 + 1/b^2+1/c^2 + 2/ab+2/bc+2/ca
=a^2/3 + 1/a^2 + b^2/3 + 1/b^2 + c^2/3 + 1/c^2
+ a^2/3 + 2/ab + b^2/3 + b^2/3 + 2/bc + c^2/3 + c^2/3 + 2/ca + a^2/3
a^2/3 + 1/a^2 >= 2 * √(a^2/3 * 1/a^2)=2/√3
b^2/3 + 1/b^2 >= 2/√3
c^2/3 + 1/c^2 >= 2/√3
a^2/3 + 2/ab + b^2/3 =a^2/3 + 1/ab + 1/ab + b^2/3 >= 4 * 4次根号(1/9) = 4/√3
b^2/3 + 2/bc + c^2/3 >=4/√3
c^2/3 + 2/ca + a^2/3 >=4/√3
所有加起来就是6√3
基本就是均值不等式的灵活运用